- 学部・研究科
Faculty/Graduate School - シ
- 時間割コード
Course Code - 62069
- 科目名
Course title
サブテーマ
Subtitle - 代数学４
- 授業形態/単位
Term/Credits - クラス
Class -
- 秋/2
- 担任者名
Instructor - 村林 直樹
- 曜限
Day/Period - 火3
- 授業概要
Course Description
到達目標
Course Objectives -
授業種別 / Teaching Types
講義（対面型）
言語 / Language
日本語(Japanese)
授業概要 / Course Description
本講義では、「代数学１、２，３」の知識を前提にして、体とガロア理論について学ぶ。
代数学の進歩の一つの原動力は方程式を解きたいという願望であった。数の体系は、自然数、負の整数、有理数、実数、複素数と広がっていったが、この事も方程式を解きたいという願望によるものであった。今日、ガウスによって証明された代数学の基本定理と呼ばれる定理（複素数を係数とする代数方程式は必ず複素数の中で解を持つ）によって、数の体系は複素数にまで広げればもうそれ以上広げる必要がないことがわかっている。
また、代数方程式の解き方については、二次の場合の解の公式は既に中学で学んだが、実は、三次、四次方程式の解の公式も知られている。すると次は五次の場合が問題となるが、ガロアは、五次以上の対称群が持つ非可解性という性質から、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しないという事が証明できることを見出した。このガロアの議論を整備・抽象化したものがガロア理論である。
本講義では、群や環に関する基礎的知識を前提にして、体とガロア理論に関する基本事項を解説する。
本講義の到達目標は、体とガロア理論に関する基本的定理の証明を理解することである。到達目標 / Course Objectives
本講義の到達目標は、体とガロア理論に関する基本的定理の証明を理解することである。
授業手法 / Teaching Methods
・教員による資料等を用いた説明や課題等へのフィードバック
- 授業計画
Course Content -
授業計画 / Course Content
１．体の拡大と拡大次数
２．代数的拡大と単純拡大の構造
３．最小分解体、代数閉体、代数閉包
４．正規拡大
５．分離拡大
６．ガロアの定理 (1)
７．ガロアの定理 (2)
８．有限体
９．円分体 (1)
１０．円分体 (2)
１１．定規とコンパスによる作図
１２．クンマー拡大
１３．方程式の可解性
１４．対称式と n 次方程式の解の公式
１５．講義のまとめ、到達度の確認、講評授業時間外学習 / Expected work outside of class
授業資料、教科書、ノートを読み返し、授業内容の理解に努めるよう復習をすること。
- 成績評価の方法・基準・評価
Grading Policies /
Evaluation Criteria -
方法 / Grading Policies
定期試験を行わず、到達度の確認(筆記による学力確認)で評価する。
講義で学習する体とガロア理論に関する基本事項の理解ができているかどうかを評価する。基準・評価 / Evaluation Criteria・Assessment Policy
体とガロア理論に関する問題に対して、その解答を数学的に正しく記述できるかどうか。
- 教科書
Textbooks 栗原章 代数学 朝倉書店 4-254-11503-2
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参考書
References 桂 利行 『代数学 III 体とガロア理論』 東京大学出版会 978-4-13-062953-9
佐藤篤・田谷久雄 理工基礎 代数系 サイエンス社 978-4-7819-1420-6
金子晃 応用代数講義 サイエンス社 4-7819-1117-X
- フィードバックの方法
Feedback Method
- 担任者への問合せ方法
Instructor Contact 毎回の授業終了時等に受付を行うので、各自申し出ること。また、研究室にいる時も可能な限り受け付ける。研究室の場所は、第４学舎 １号館 教授棟（１階がコンビニになっている建物） ３階 ４３２７号室。
- 備考
Other Comments 板書を丁寧にするので、授業に出席し、ノートをとって、それをもとに、教科書の問題を自分で解くこと。授業を聞いているだけでは駄目で、自分で理解するための努力をしないと、ガロア理論をマスターするのは難しい。